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Brüche






Ein Bruch ist ein Bruchteil von einem Ganzen. Der Nenner gibt an, in wie viele gleiche Teile ein Ganzes zerlegt wird. Der Zähler gibt an, wie viele dieser gleichen Teile zu nehmen sind.
Zur Erläuterung ein kleines Beispiel:
Deine Oma hat Dir einen Kuchen gebacken. Da Du großzügig bist möchtest Du ihn natürlich mit Deinen Freunden Alex, Basti und Maxi teilen. Dazu schneidest Du den Kuchen in 4 gleichgroße Stücke. Jeder bekommt ein Stück, also ein Viertel vom Kuchen.
Die Anzahl aller Stücke entsprechen dem Nenner - in diesem Fall 4.
Die Anzahl der Stücke, die jeder einzelne bekommt, entsprechen dann dem Zähler. Da jeder genau ein Stück bekommt ist dieser 1.

Wenn Du Dir den Kuchen allerdings nur mit Maxi teilen würdest, bekäme jeder von euch jeweils 2 Stücke :)
Der Zähler wäre dadurch nun 2, der Nenner weiterhin 4.

Bist Du ganz gierig und egoistisch, hungrig oder hast einfach niemanden, mit dem Du teilen könntest/möchtest... kannst Du den Kuchen natürlich auch ganz alleine essen. Also alle 4 Stücke. In diesem Fall sind Zähler und Nenner gleich groß. Anstatt zu sagen, Du hättest 4 von 4 Küchenstücke gegessen, kannst Du auch damit "prahlen", einen ganzen Kuchen gegessen zu haben. Genauso ist das in der Mathematik auch. Immer wenn der Zähler so groß ist wie der Nenner, kannst du statt dem Bruch auch einfach 1 schreiben.





Achtung!:
Der Nenner eines Bruches darf nie gleich Null sein, da man nicht durch Null teilen kann/darf. Eigentlich logisch, da es ja auch keinen Kuchen geben kann, der aus 0 Stücken besteht. Selbst ein noch nicht angeschnittener Kuchen ist ja schon 1 Stück.
Dagegen kann der Zähler eines Bruches auch Null sein. (Denke nur an Deine Freunde, die leer ausgehen, wenn Du den Kuchen alleine isst. Sie bekommen dann 0 von 4 Stücken. Also 0viertel.gif des Kuchens)

Genauso wie bei den normalen Zahlen, die du bereits kennst, können Brüche auch negativ sein.
Kleines Beispiel:



Gemischte Zahl:


Bisher waren bei allen unseren Beispielbrüchen die Zähler kleiner als(oder genauso groß wie) der Nenner. Es hat ja auch keinen Sinn gemacht, mehr als 4 von 4 Stücken zu besitzen. Doch was bei dem Kuchen unmöglich ist, ist in der Mathematik häufig zu sehen:



Diese Brüche haben allesamt einen größeren Zähler als Nenner. Deshalb werden sie meistens als gemischte Zahlen dargestellt. Doch was ist das?
Ganz einfach gesagt: eine Zahl und dahinter folgend ein Bruch. Also die Mischung aus Zahl und Bruch. Daher der Name... ;)
So, und jetzt zur Entstehung dieses mysteriösen Zahl-Bruch-Mix.
Machen wir doch einfach mal aus dem Bruch eine gemischte Zahl:

Vorhin haben wir gelernt, dass ein Bruch bei gleichem Zähler und Nenner gekürzt dem Wert 1 entspricht. Der Bruch besteht aus 23 Fünfteln, ist also deutlich größer als 1.
Teilen wir die 23 doch einfach mal durch 5.
23 : 5 = 4 Rest 3
Das Teilen des Zählers durch den Nenner ist immer der erste Schritt bei der Umwandlung eines Bruchs zu einer gemischten Zahl. Die 4 in unserem Ergebnis gibt an, aus wie vielen Ganzen die gemischte Zahl besteht. Der Rest (in unserem Fall die 3) ist die Anzahl an Fünfteln die noch zu den 4 Ganzen hinzukommen.
sind somit als gemischte Zahl ausgedrückt:

So, und jetzt versuchen wir mal aus einer gemischten Zahl wieder einen Bruch zu machen.
Nehmen wir doch . Zur Umformung gehen wir jetzt einfach rückwärts vor:
Zuerst machen wir aus den 3 Ganzen, wieder 3 . Diese addieren wir dann zu den 2, die schon im Zähler stehen, hinzu.

1. 3x3= 9

2. 9+2= 11

3.

entsprechen somit



Rechenregeln für Brüche:


1.) Man kann nur bei Brüchen gleichen Nenners die Zähler addieren oder subtrahieren
Bsp:

2.) Bei Brüchen mit unterschiedlichen Nennern, muss man die Nenner auf das kgV erweitern


3.) Beim Multiplizieren werden die Nenner und die Zähler jeweils miteinander multipliziert
Bsp:

4.) Beim Dividieren wird der Dividend mit dem Kehrbruch(Zähler und Nenner vertauschen) des Divisors multipliziert
Bsp:



"Je größer der Nenner eines Bruchs, desto kleiner der Wert des gesamten Bruchs."

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